Задача из олимпиады Числа x и y больше 1. Докажите, что x+y+1/(xy)<1/x+1/y+xy.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала перепишем неравенство в следующем виде:

x + y + 1/(xy) < 1/x + 1/y + xy

Приведем все слагаемые к общему знаменателю, чтобы левую часть тоже записать в виде дроби:

(x^2y + xy^2 + 1)/(xy) < (y + x)/(xy) + xy

Теперь упростим дроби в обеих частях неравенства:

И подставим это вместо левой части в неравенство:

xy(x + y) + 1 < x + y + xy^2x^2

xy(x + y) + 1 - x - y < xy^2x^2

xy(x + y - 1) + 1 < xy^2x^2

Теперь заметим, что в условии задачи x и y больше 1, а значит x + y - 1 будет больше нуля. Тогда домножим обе части неравенства на x + y - 1, сохраняя знак неравенства:

xy(x + y - 1)(x + y - 1) + (x + y - 1) < xy^2x^2(x + y - 1)

xy(x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1) + x + y - 1 < xy^2x^2(x + y - 1)

xy(x^2 + y^2) + xy(2xy - 2x - 2y) + xy - x - y + 1 < xy^2x^2(x + y - 1)

xy(x^2 + y^2) + 2xy - 2x - 2y + 1 < xy^2x^2(x + y - 1)

Теперь разделим обе части на xy:

x^2 + y^2 + 2 - 2/x - 2/y + 1/xy < x^2y^2(x + y - 1)

Теперь заметим, что нам дано, что x и y больше 1, а значит 1/x и 1/y меньше 1. Добавим 2 к обеим частям неравенства:

x^2 + y^2 + 4 - 2/x - 2/y + 1/xy < x^2y^2(x + y - 1) + 2

Докажем, что левая часть меньше правой:

x^2 + y^2 + 4 - 2/x - 2/y + 1/xy < x^2y^2(x + y - 1) + 2

x^2 + y^2 + 4 - 2/x - 2/y + 1/xy < 0 + 2
x^2 + y^2 + 4 - 2/x - 2/y + 1/xy < 2

Таким образом, неравенство x + y + 1/(xy) < 1/x + 1/y + xy верно.