Дайте ответ молю на коленях Вычислить объем тела, полученного вращением дуги кривой ?=1−?2 y = 1 − x 2 , заключенной между точками (−1;0) ( − 1 ; 0 ) и (1;0) ( 1 ; 0 ) , вокруг оси ?? O x (лимон Кавальери).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение дуги кривой:

y = 1 - x^2

Затем найдем площадь фигуры, ограниченной этой кривой и осями OX и OY:

S = ∫[a,b] y dx = ∫[-1,1] (1 - x^2) dx = [x - (1/3)x^3] |_[-1,1] = 2/3

Теперь найдем объем тела, полученного вращением этой дуги вокруг оси OX по формуле объема цилиндра:

V = π∫[a,b] y^2 dx = π∫[-1,1] (1 - x^2)^2 dx = π∫[-1,1] (1 - 2x^2 + x^4) dx = π[x - (2/3)x^3 + (1/5)x^5] |_[-1,1] = 16π/15

Таким образом, объем тела, полученного вращением дуги кривой y = 1 - x^2 вокруг оси OX, равен 16π/15.