Дана гипербола 7x^2+50xy+7y^2-50x-14y+295=0. Составить уравнение параболы, ось которой совпадает с фокальной осью гиперболы, вершина находится в центре гиперболы, а фокальный параметр в 2\sqrt 2 раз меньше расстояния между фокусами этой гиперболы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение фокальной оси гиперболы. Для этого продолжим ось симметрии гиперболы (ось, проходящую через центр гиперболы) до пересечения с фокусами. Учитывая, что фокусы гиперболы находятся на оси x (y=0) и расстояние от центра гиперболы до фокусов равно c, уравнение фокальной оси будет иметь вид x=c.

Теперь найдем координаты вершину гиперболы, для этого продолжим ось симметрии гиперболы (ось, проходящую через центр гиперболы) до пересечения с гиперболой. Найдем точку пересечения оси y=0 с гиперболой путем решения системы уравнений:

7x^2 - 50x + 295 = 0
7y^2 - 14y +295 = 0

Решив данную систему уравнений, получим x_1=x_2=5. Следовательно, координаты вершины гиперболы (x_v; y_v) равны (5;0).
Далее найдем фокусное расстояние фокусов гиперболы, для этого воспользуемся формулой c=\sqrt{a^2 +b^2}, где a и b - коэффициенты при x и y в уравнении гиперболы. Имеем: c=\sqrt{7^2 +7^2}=\sqrt{98+98}=2\sqrt 98.

Теперь найдем фокальный параметр параболы, который в 2\sqrt 2 раза меньше расстояния между фокусами гиперболы, т.е. равен 2\sqrt 98/(2\sqrt 2) = \sqrt 98.

Учитывая, что вершина параболы находится в центре гиперболы, а фокальная ось совпадает с фокальной осью гиперболы, уравнение параболы имеет вид x^2 = 4p y, где p - фокальный параметр параболы.

Таким образом, уравнение искомой параболы будет выглядеть как x^2 = 4\sqrt{98} y.