. Натуральные числа 4, 5, ..., 18 расположили по кругу. Докажите, что можно выбрать три подряд
идущих числа a, b, c таких, что из трёх палочек с длинами a, b, c можно составить треугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что любые два числа a и b из данного ряда удовлетворяют условию треугольника, так как их сумма меньше максимального числа. То есть для любых двух чисел a и b из ряда a, b, ..., n можно составить треугольник.

Далее рассмотрим три числа a, b, c, которые необходимо выбрать. Предположим, что каждые три числа идут подряд в ряду не удовлетворяют условию треугольника. То есть a + b <= c для любых трех чисел.

Так как сумма двух чисел из ряда меньше любого числа из ряда и мы рассматриваем 15 чисел от 4 до 18, то в результате каждое число будет встречаться в такой сумме только один раз. При этом для случая, когда a = 4, b = 5 не существует такого c, удовлетворяющего условию треугольника, что значит, что это исключение будет при первых двух числах в ряду.

Теперь можно составить такую последовательность, которая удовлетворяет условиям треугольника: (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (8, 9, 10), (9, 10, 11), (10, 11, 12), (11, 12, 13), (12, 13, 14), (13, 14, 15), (14, 15, 16), (15, 16, 17), (16, 17, 18).

Таким образом, выбрав любые три числа подряд из данного ряда, можно составить треугольник.