В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1 C1 D1

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D дано: АВ=ВС= см., ВD =12 см. Найдите: а) расстояние между прямыми ВD и АА ; б) угол между прямой ВD и плоскостью ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку AB = BC, то он равнобедренный, следовательно, высота, проведенная из вершины B на сторону AD, будет являться медианой и высотой. Таким образом, BD будет делить сторону AC пополам.

Из прямоугольного треугольника ABD получаем
AB^2 + BD^2 = AD^
AC^2/4 + 12^2 = AD^
AC^2/4 + 144 = AD^2

Теперь рассмотрим треугольник AAD1. Так как AD1 перпендикулярна плоскости ABCD, то AD1 будет являться высотой параллелепипеда.

Из теоремы Пифагора в треугольнике AAD1 получаем
AA^2 = AD^2 + AD1^
AA^2 = AD^2 + AC^2/4

AA = sqrt(AD^2 + AC^2/4)

Таким образом, расстояние между прямыми BD и AA равно sqrt(AD^2 + AC^2/4) - AD.

б) Угол между прямой BD и плоскостью ABC равен углу между прямыми BD и AA. Из предыдущего пункта мы нашли расстояние между этими прямыми, которое равно AD1. Таким образом, угол между прямой BD и плоскостью ABC можно найти как arcsin(AD1/BD).