В треугольнике abc aa1 и bb1 - биссектрисы , aa1 пересекает bb1 в точку o , расстояние от точки o до стороны BC равно 2 см . Найдите радиус вписаной окружности

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка o - центр вписанной окружности треугольника ABC. Тогда расстояние от точки o до стороны BC равно радиусу вписанной окружности.

Так как точка o является точкой пересечения биссектрис AA1 и BB1, то угол AOB делит угол ABC пополам.

Заметим, что треугольник AOB и треугольник AOC являются равнобедренными, так как OA и OB равны (так как это радиусы) и угол AOB равен углу AOC (так как они соответственно равны).

Тогда угол BOC равен удвоенному углу AOB, то есть 2 * ∠AOB = ∠BOC.

Так как угол ABC равен ∠AOB + ∠COB, то угол ABC равен ∠AOB + 2 ∠AOB = 3 ∠AOB.

Отсюда следует, что ∠AOB = 1/3 * ∠ABC.

Поскольку угол AOC равен углу AOB, то ∠AOC = ∠AOB = 1/3 * ∠ABC.

Таким образом, треугольник ABC делится биссектрисой на два равнобедренных треугольника ABO и ACO.

По пропорциям радиусов вписанной окружности и отрезков биссектрис имеем: AO/AO1 = r/(r + 2), где r - радиус вписанной окружности, AO = BO = CO.

Так как треугольник AOB - равнобедренный, то AO1 = AB, а также AO = AB * r/(r + 2).

Аналогично, из треугольника AOC получаем, что AO = AC * r/(r + 2).

Следовательно, AB r/(r + 2) = AC r/(r + 2) и AB = AC.

Таким образом, треугольник ABC равнобедренный и AB = BC = AC.

Из условия задачи AB = BC = AC = r + 2 получаем, что r = 2.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.