В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна биссектрисе BD . Найдите площадь треугольника ABC , если AM=20, BD=19 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка E - точка пересечения медианы AM и биссектрисы BD . Так как AM перпендикулярна BD , то треугольник AMD прямоугольный. Также треугольник ABD тоже прямоугольный, так как AD - биссектриса.

Таким образом, получаем, что треугольник AMD и треугольник ABD равны, так как имеют одинаковые гипотенузы и общий катет BD = 19.

Из равенства треугольников получаем, что MD = AD / 2 = 10. Также угол AED = 90 градусов, так как AM перпендикулярна BD.

Таким образом, треугольник AED - прямоугольный. По теореме Пифагора получаем, что AE^2 = AD^2 - DE^2 = 20^2 - 10^2 = 300.

Так как BE = DE, то получаем, что BD^2 = BE^2 + DE^2 = 19^2 = 300.

Из этих двух уравнений получаем BE = 10√3.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна площади треугольника AED 3 = (ΔAED 3) = 300 / 2 3 = 150 3 = 450.

Итак, площадь треугольника ABC равна 450.