Чему равен периметр? Биссектриса `BD` прямоугольного треугольника `ABC` является диаметром окружности, которая проходит через вершину `C` прямого угла и пересекает гипотенузу `AB` в точке `K`. Известно, что `BD=sqrt(15)` и `BK:KA=3:2`. Найдите периметр треугольника `ABC`.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами биссектрисы прямоугольного треугольника.

Обозначим длину катетов как a и b, а гипотенузу как c. Тогда по теореме Пифагора имеем:
a^2 + b^2 = c^2.

Так как BD является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC, то она делит гипотенузу на две части пропорционально катетам. Из условия BK:KA=3:2 можно записать, что BK = 3x и KA = 2x, где x - общий множитель.

Так как BD является диаметром окружности, проходящей через вершину C, то угол BCD является прямым. Отсюда следует, что треугольники BDK и BCK являются подобными, так как у них есть два угла, равные друг другу. Используем соответственность сторон:
BD/BC = BK/BK.

Подставляя известные значения, получаем:
sqrt(15) / c = 3x / (3x + 2x) = 3 / 5.

Отсюда находим, что c = 5sqrt(15). Подставляем значение c в теорему Пифагора:
a^2 + b^2 = (5sqrt(15))^2 = 225.

Так как a:b = 3:4 (по условию задачи), можем записать, что a = 3m и b = 4m, где m - общий множитель. Подставляем значения в уравнение:
(3m)^2 + (4m)^2 = 225,
9m^2 + 16m^2 = 225,
25m^2 = 225,
m^2 = 9,
m = 3.

Таким образом, a = 9, b = 12, c = 5sqrt(15), а периметр треугольника ABC равен P = a + b + c = 9 + 12 + 5sqrt(15) = 21 + 5sqrt(15).