Найти Уравнение высоты DH, опущенной на основание ABC, найти длину высоты.
A(-1,0,-4) B(0,-6,-1) C(1,4,-1) D(-4,1,-1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти уравнение высоты DH, опущенной на основание ABC, нам нужно сначала найти векторы AB и AC, затем найти векторное произведение этих векторов, чтобы найти вектор нормали к плоскости ABC. Затем можно найти уравнение плоскости ABC, а затем уравнение прямой DH, которая будет перпендикулярна плоскости ABC.

Вектор AB
AB = B - A = (0 + 1, -6 - 0, -1 + 4) = (1, -6, 3)

Вектор AC
AC = C - A = (1 + 1, 4 - 0, -1 + 4) = (2, 4, 3)

Найдем векторное произведение AB и AC
N = AB x AC = i ( (-6)(3) - (4)(3) ) - j ( 1(3) - 2(3) ) + k ( 1(4) - 2(-6) ) = i(-18 - 12) - j(3 - 6) + k(4 + 12) = i(-30) - j(-3) + k(16) = (-30, 3, 16)

Найдем уравнение плоскости ABC, зная что точка A(-1, 0, -4) лежит на этой плоскости
-30(x + 1) + 3y + 16(z + 4) =
-30x - 30 + 3y + 16z + 64 =
-30x + 3y + 16z + 34 = 0

Уравнение прямой DH, проходящей через точки D и проектирующей на плоскость ABC
D(-4, 1, -1)

Поскольку прямая DH перпендикулярна плоскости ABC, то вектор нормали к прямой DH совпадает с вектором нормали к плоскости ABC.

Таким образом, уравнение высоты DH имеет вид
-30(x + 4) + 3(y - 1) + 16(z + 1) =
-30x - 120 + 3y - 3 + 16z + 16 =
-30x + 3y + 16z - 107 = 0

Теперь мы можем найти длину высоты, используя формулу для расстояния от точки до плоскости
d = |ax + by + cz + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)

Где a, b и c - коэффициенты уравнения плоскости, а D(-4, 1, -1) точка, через которую проходит высота
d = |(-30)(-4) + 3(1) + 16(-1) -107| / sqrt((-30)^2 + 3^2 + 16^2
d = 837 / sqrt(900 + 9 + 256
d = 837 / sqrt(1165
d ≈ 24.43

Таким образом, длина высоты DH равна примерно 24.43.