Решите показательное неравенство 3^2x-10×3^x+9≥0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного показательного неравенства, давайте введем замену. Обозначим 3^x за t. Тогда неравенство примет следующий вид:

t^2 - 10t + 9 ≥ 0

Теперь решим квадратное уравнение t^2 - 10t + 9 = 0. Для этого найдем его корни:

D = (-10)^2 - 419 = 100 - 36 = 64
t1 = (10 + √64) / 2 = (10 + 8) / 2 = 9
t2 = (10 - √64) / 2 = (10 - 8) / 2 = 1

Таким образом, уравнение имеет два корня t1 = 9 и t2 = 1.

Значения корней разбивают промежуток на три части:
1) t < 1, т.е. 3^x < 1
2) 1 ≤ t ≤ 9, т.е. 1 ≤ 3^x ≤ 9
3) t > 9, т.е. 3^x > 9

Проверим значения на соответствие неравенству.
1) t < 1
Поскольку t = 3^x, t < 1 означает, что 3^x < 1. Это невозможно, так как 3^x ≥ 1 при любом x.

2) 1 ≤ t ≤ 9
Подставим значения из промежутка в исходное неравенство:
1^2 - 10*1 + 9 ≥ 0
1 - 10 + 9 ≥ 0
0 ≥ 0
Неравенство выполняется при 1 ≤ t ≤ 9, соответственно, при 1 ≤ 3^x ≤ 9.

3) t > 9
Подставим значения из промежутка в исходное неравенство:
9^2 - 10*9 + 9 ≥ 0
81 - 90 + 9 ≥ 0
0 ≥ 0
Неравенство также выполняется при t > 9, что соответствует 3^x > 9.

Таким образом, решением исходного показательного неравенства 3^2x - 10*3^x + 9 ≥ 0 является интервал 3^x ∈ [1, +∞).

Полный бред, решение неверно, ответ тоже. Правильный ответ: x ∈ (-∞,0] ∪ [2,∞)