Высшая математика, теория вероятности Монета подбрасывается 5 раз. Построить многоугольник распределения д.с.в Z - числа выпадений герба.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

При подбрасывании монеты 5 раз мы можем определить числа выпадений герба (обозначим его как ( Z )), которые могут принимать значения от 0 до 5. Для построения многоугольника распределения (или, иначе, распределения вероятностей) сначала необходимо вычислить вероятности для каждого из возможных значений ( Z ).

Шаг 1: Определение вероятностей

При каждом подбрасывании монеты вероятность выпадения герба (обозначим ( p )) составляет 0.5. Общее количество подбрасываний составляет 5, поэтому мы можем использовать биномиальное распределение:

[
P(Z = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]

где:

( n ) — общее количество подбрасываний (в данном случае 5),( k ) — количество выпадений герба (от 0 до 5),( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — биномиальный коэффициент.Шаг 2: Вычисление вероятностей для каждого ( k )

Давайте вычислим вероятности для ( Z = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ):

Для ( Z = 0 ):
[
P(Z = 0) = C(5, 0) \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32}
]

Для ( Z = 1 ):
[
P(Z = 1) = C(5, 1) \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^4 = 5 \cdot 0.5 \cdot \frac{1}{16} = \frac{5}{32}
]

Для ( Z = 2 ):
[
P(Z = 2) = C(5, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^3 = 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}
]

Для ( Z = 3 ):
[
P(Z = 3) = C(5, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}
]

Для ( Z = 4 ):
[
P(Z = 4) = C(5, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^1 = 5 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{32}
]

Для ( Z = 5 ):
[
P(Z = 5) = C(5, 5) \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^0 = 1 \cdot \frac{1}{32} \cdot 1 = \frac{1}{32}
]

Шаг 3: Сводим результаты

Теперь у нас есть распределение вероятностей:

[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
Z & P(Z) \
\hline
0 & \frac{1}{32} \
1 & \frac{5}{32} \
2 & \frac{5}{16} = \frac{10}{32} \
3 & \frac{5}{16} = \frac{10}{32} \
4 & \frac{5}{32} \
5 & \frac{1}{32} \
\hline
\end{array}
]

Шаг 4: Построение многоугольника распределения

Теперь можно построить многоугольник распределения. Для этого:

Постройте ось ( Z ) (число гербов) от 0 до 5.Постройте ось ( P(Z) ) (вероятности) от 0 до 1.Нанесите точки, соответствующие каждому ( Z ) и ( P(Z) ).Соедините точки линейными отрезками.

Многоугольник распределения будет выглядеть как «колокол», с максимальным значением вероятности в центре (в данном случае 2 и 3) и уменьшающейся вероятностью к краям (0 и 5).