Решение уравнения по тригонометрии cos(3x)*cos(x)=cos(2x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить уравнение ( \cos(3x) \cos(x) = \cos(2x) ), начнем с применения тригонометрических тождеств.

Сначала воспользуемся формулой для ( \cos(3x) ):
[
\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x).
]
Подставим это в уравнение:

[
(4 \cos^3(x) - 3 \cos(x)) \cos(x) = \cos(2x).
]

Теперь запишем ( \cos(2x) ) с помощью элементов тригонометрии:
[
\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1.
]

Итак, перепишем уравнение:

[
(4 \cos^3(x) - 3 \cos(x)) \cos(x) = 2 \cos^2(x) - 1.
]

Теперь раскроем скобки слева:

[
4 \cos^4(x) - 3 \cos^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1.
]

Переместим все члены на одну сторону уравнения:

[
4 \cos^4(x) - 3 \cos^2(x) - 2 \cos^2(x) + 1 = 0.
]

Соберем подобные члены:

[
4 \cos^4(x) - 5 \cos^2(x) + 1 = 0.
]

Теперь сделаем замену ( y = \cos^2(x) ). Уравнение становится:

[
4y^2 - 5y + 1 = 0.
]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9.
]

Теперь найдем корни:

[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{8}.
]

Это дает два решения:

[
y_1 = \frac{8}{8} = 1, \quad y_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.
]

Теперь вернемся к переменной ( \cos^2(x) ):

( \cos^2(x) = 1 ) дает ( \cos(x) = 1 ), что соответствует ( x = 2k\pi ) для ( k \in \mathbb{Z} ).

( \cos^2(x) = \frac{1}{4} ) дает ( \cos(x) = \frac{1}{2} ) или ( \cos(x) = -\frac{1}{2} ). Это соответствует:

( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ) (для ( \cos(x) = \frac{1}{2} )),( x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi ) (для ( \cos(x) = \frac{1}{2} )),( x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ) (для ( \cos(x) = -\frac{1}{2} )),( x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi ) (для ( \cos(x) = -\frac{1}{2} )).

Таким образом, окончательное решение уравнения:

[
x = 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
]