Задача по геометрии основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основание равнобедренной трапеции как ( a = 8 ) и ( b = 18 ), а длины боковых сторон — как ( c ).

Для нахождения периметра равнобедренной трапеции используем формулу:

[
P = a + b + 2c
]

Так как периметр равен 56, подставим известные значения:

[
56 = 8 + 18 + 2c
]

Упростим уравнение:

[
56 = 26 + 2c
]

Переносим 26 влево:

[
56 - 26 = 2c
]

[
30 = 2c \implies c = 15
]

Теперь, зная длины оснований и боковых сторон, найдем высоту трапеции. Для этого воспользуемся высотой, проведенной из вершин оснований ( a ) и ( b ) к основанию ( a ). Обозначим высоту как ( h ).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется высотой ( h ), и отрезком, который соединяет середины оснований. Обозначим полупериметр ( p ):

[
p = \frac{a + b}{2} = \frac{8 + 18}{2} = 13
]

Теперь, так как ( a = 8 ) и ( b = 18 ), длина отрезка между проекциями боковых сторон на основание ( a ) равна:

[
d = \frac{b - a}{2} = \frac{18 - 8}{2} = 5
]

Теперь можем использовать теорему Пифагора:

[
c^2 = d^2 + h^2
]

Подставим известные величины:

[
15^2 = 5^2 + h^2
]

[
225 = 25 + h^2
]

[
h^2 = 225 - 25 = 200
]

[
h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}
]

Теперь можем найти площадь трапеции ( S ):

[
S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h
]

Подставим значения:

[
S = \frac{(8 + 18)}{2} \cdot 10\sqrt{2} = \frac{26}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2}
]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна ( 130\sqrt{2} ).