Олимпиадная задача по математике У бельчат была для игр прямоугольная площадка с периметром 104 метра. Они разделили её на две прямоугольные площадки с периметрами 68 и 82 метров. Чему равнялась длина границы между участками?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина и ширина основной площадки равны ( L ) и ( W ) соответственно. Тогда периметр основной площадки можно выразить как:

[
2L + 2W = 104
]

Отсюда следует:

[
L + W = 52
]

Теперь разделим площадку на две части, обозначив их как ( L_1, W_1 ) и ( L_2, W_2 ) с периметрами 68 и 82 метра соответственно.

Первый участок с периметром 68 метров:

[
2L_1 + 2W_1 = 68 \implies L_1 + W_1 = 34
]

Второй участок с периметром 82 метра:

[
2L_2 + 2W_2 = 82 \implies L_2 + W_2 = 41
]

Теперь мы знаем, что:

[
L_1 + W_1 + L_2 + W_2 = (L + W) = 52
]

Подставим значения для ( L_1 + W_1 ) и ( L_2 + W_2 ):

[
34 + 41 = 52
]

Поскольку у нас есть два участка, разделённых границей, пусть ( x ) будет длиной этой границы. Тогда:

[
L_1 = a, \; W_1 = 34 - a, \; L_2 = b, \; W_2 = 41 - b
]

Чтобы сумма составила первоначальные (L, W), они должны восстановить первоначальную площадку. Также у нас есть условие:

[
L_1 + L_2 = L \quad \text{и} \quad W_1 + W_2 = W
]

Теперь рассмотрим границу, которая может быть ( x ):

Разделение площадок может происходить по длине (по L) или ширине (по W). В этом случае можно заметить, что ( x = 52 - (L_1 + L_2 + W_1 + W_2) ).

Теперь подставляем значения для выяснения значения границы ( x ):

Обозначим:

[
x = |L_2 - L_1| \quad \text{или} \quad x = |W_2 - W_1|
]

Это значит, что граница будет той же, которая была в основной площадке между двумя участками.

В результате, длина границы между участками составит:

[
x = 52 - (34 + 41 - 52) = 52 - 23 = 29
]

Таким образом, длина границы между участками равна 29 метрам.

Ответ:

[
\boxed{29}
]