1. Вычислить массу области D, ограниченной заданными линиями при заданном значении поверхностной плоскости р (х; у)
D: y=x^2 -1; x>0, y<0, p=x^3 - 2y.
2. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями
z=2x^2 +y^2, y0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения линий y=x^2 - 1 и p=x^3 - 2y:
x^2 - 1 = x^3 - 2y
2y = x^3 - x^2 + 1
y = 0.5x^3 - 0.5x^2 + 0.5

Теперь найдем точку пересечения с осью Оу:
0.5x^3 - 0.5x^2 + 0.5 = 0
x^3 - x^2 + 1 = 0
Данное уравнение не имеет решений с x>0, поэтому точка пересечения с осью Оу нам не подходит.

Теперь найдем точки пересечения с осью Oх:
y=x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = ±1

Таким образом, точки пересечения D с осью Oх находятся в точках (1, 0) и (-1, 0).

Для нахождения массы области D, мы должны вычислить двойной интеграл плотности m(x, y) по области D:
m(D) = ∬_D m(x, y) dS
где m(x, y) = 1 (единичная плотность)

m(D) = ∬_D 1 dS

Объем тела, ограниченного поверхностью z=2x^2 + y^2 и ограниченной сверху плоскостью y=0, мы можем найти с помощью тройного интеграла:
V = ∭ v dz dy dx
Объем V равен интегралу от z=0 до z=2x^2 + y^2, y от 0 до +бесконечности и x от 0 до +бесконечности.