F(x)=x^3/3-2x^2+3x
Найти монотонности и экстремы с графиком

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производную функции F(x) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:

F'(x) = x^2 - 4x + 3
F'(x) = (x - 3)(x - 1)

Точки экстремума:
x = 1 (локальный минимум)
x = 3 (локальный максимум)

Теперь найдем значения функции F(x) в этих точках:
F(1) = 1/3 - 2 + 3 = 8/3
F(3) = 9/3 - 18 + 9 = 0

Теперь исследуем монотонность функции F(x) на интервалах между точками экстремума и за пределами:

1) F(x) убывает на интервале (-∞, 1)
2) F(x) возрастает на интервале (1, 3)
3) F(x) убывает на интервале (3, +∞)

Теперь построим график функции F(x) с учетом найденных экстремумов и монотонности.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = x*3/3 - 2x*2 + 3x

plt.plot(x, y, label='F(x) = x^3/3 - 2x^2 + 3x')
plt.scatter([1, 3], [8/3, 0], color='red', label='Экстремумы')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции F(x)')
plt.axhline(y=0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(x=0, color='black',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.show()

На данном графике видно, что функция имеет локальный минимум в точке (1, 8/3) и локальный максимум в точке (3, 0). Функция убывает на интервале (-∞, 1), возрастает на интервале (1, 3) и убывает на интервале (3, +∞).