Разложить многочлен z^4+2z^3+7z^2+6z+5, если известен корень z0=(-1+i√19)/2 а) на линйные множители , б) на линейные и квадратичные с действительными коэффициентами.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку з0 — комплексный корень, то его сопряженное число z1=(-1-i√19)/2 — также является корнем многочлена. Тогда многочлен можно представить в виде произведения линейных множителей следующим образом:
(z - z0)(z - z1)(z - a)(z - b), где a и b — оставшиеся два корня.

Теперь найдем a и b, приведя многочлен к виду (z - a)(z - b):
(z^4+2z^3+7z^2+6z+5)/((z + 1/2)^2 + 19/4) = z^2 + 3 - 19/(z^2 + 1)

Получаем квадратное уравнение z^2 + 3 - 19/(z^2 + 1) = 0. Решая его, находим оставшиеся два корня a и b.

б) Теперь, зная все корни многочлена, мы можем представить его в виде произведения линейных и квадратичных множителей:
(z - z0)(z - z1)(z - a)(z - b) = (z^2 + z + 10)(z - a)(z - b)