. Куб 100100100 составлен из кубиков 111, некоторые из которых покрашены в чёрный цвет, а остальные в белый так, что в каждом параллелепипеде 11100, состоящем из 100 единичных кубиков, ровно два чёрных кубика и между ними расположено чётное число белых (возможно, 0). Докажите, что можно перекрасить половину чёрных кубиков в белый цвет так, чтобы в каждом параллелепипеде 11100 остался ровно один чёрный кубик.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте предположим, что данное утверждение неверно, т.е. после перекраски половины чёрных кубиков останется параллелепипедов, в которых будут по 2 или более чёрных кубика.

Рассмотрим параллелепипед 1х1х100, который имеет два или более чёрных кубика после перекраски. Пусть в этом параллелепипеде есть n чёрных кубиков (n≥2), тогда n-1 белый кубик и какое-то чётное количество других белых кубиков. Таким образом, в данном параллелепипеде будет окрашено нечётное количество кубиков в белый цвет, что противоречит начальному условию (чтобы остался чёрный кубик, количество белых кубиков должно быть чётным).

Следовательно, предположение о том, что после перекраски останется параллелепипедов с 2 или более чёрными кубиками, неверно. А значит, можно перекрасить половину чёрных кубиков в белый цвет так, чтобы в каждом параллелепипеде 1х1х100 остался ровно один чёрный кубик.