Около треугольника ABC описана окружность. Медиана AD продолжена до пересечения с этой...
Около треугольника ABC описана окружность. Медиана AD продолжена до пересечения с этой окружностью в точке E. Известно, что AB+AD=DE, \angle BAD = 60∠BAD=60, AE=12. Найдите корень 3 Sabc

.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольник ABC является равносторонним, так как угол BAD равен 60 градусам.

Так как AB + AD = DE, то AB = DE - AD. Из равностороннего треугольника ABE следует, что AE = BE = AB, следовательно DE = 2AB.

Теперь найдем сторону треугольника ABC. Пусть AB = x, тогда DE = 2x, AD = x/2 (как медиана), а CD = 3x/2 (как медиана). Так как треугольник ABC является равносторонним, то AC = BC = x.

Теперь, применив теорему Пифагора к треугольнику ADC, получим:

(x/2)^2 + (3x/2)^2 = AC^2
x^2/4 + 9x^2/4 = x^2
10x^2/4 = x^2
10 = 4
x^2 = 40

S_ABC = (1/2) x^2 sqrt(3) = 20sqrt(3)

Ответ: корень 3 S_ABC = 20sqrt(3).