В геометрической прогрессии с положительными членами b1 + b2 = 20, b3 + b4 = 180 и bn = 1215. Чему равно n?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Имеем:

b1 + b2 = 20
b3 + b4 = 180
b4 = b3 r
b2 = b1 r
bn = b1 * r^(n - 1)

b1 + b1r = 20
b3 + b3r = 180
b3r + b3r^2 = 180

b1(1 + r) = 20
b3(1 + r) = 180
b3(r + r^2) = 180

Отсюда найдем r и b1 - первый член прогрессии:

1 + r = 20 / b1
r + r^2 = 180 / b3

b1(1 + r)^2 = 20
b1(1 + r) = 20 / (1 + r)
b1 = 20 / (1 + r)^2

b1(1 + r) = 20
20 = b1 + b1r
20 = b1*(1 + r)
b1 = 20 / (1 + r)

20 / (1 + r)^2 = 20
1 / (1 + r)^2 = 1
1 + r = 1
r = 0

b1 = 20

b3 + b3 r = 180
b3 = 180
b3 = 180
180 + 1800 = 180

Значит, данная геометрическая прогрессия является арифметической и b1 = 20, b2 = 0, b3 = 180, b4 = 360. Теперь подставляем в bn = 1215:

b1(1 + r)^(n - 1) = 1215
20 2^(n-1) = 1215
2^(n-1) = 1215 / 20 = 121.5
n - 1 = log2(121.5)
n = log2(121.5) + 1

n ≈ log2(128) + 1 ≈ 7 + 1 = 8

Ответ: n = 8.