Докажите что при всех допустимых значениях переменных значение выражения (x-2y)^2-8y^2(2y^2-x^2)/(2y+x)^2 неотрицательно

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что данное выражение всегда неотрицательно при всех допустимых значениях переменных, можно воспользоваться методом математической индукции.

База индукции:
При x=0 и y=0 выражение равно 0, то есть неотрицательно.

Предположение индукции:
Пусть данное выражение неотрицательно при некоторых значениях x и y.

Шаг индукции:
Докажем, что если это утверждение выполняется для некоторых x и y, то оно будет выполняться и для следующих значений.

Рассмотрим данное выражение:
(x-2y)^2 - 8y^2(2y^2 - x^2)/(2y+x)^2

Упростим его:
(x-2y)^2 - 8y^2(2y^2 - x^2)/(2y+x)^2 =
= x^2 - 4xy + 4y^2 - 8y^2(4y^2 - x^2)/(2y+x)^2 =
= x^2 - 4xy + 4y^2 - (32y^4 - 8x^2y^2)/(2y+x)^2 =
= x^2 - 4xy + 4y^2 - (32y^4 - 8x^2y^2)/(4y^2 + 4xy) =
= x^2 - 4xy + 4y^2 - (8y^2(4y^2 - x^2))/(4y^2 + 4xy) =
= x^2 - 4xy + 4y^2 - 8y^2(x^2 - 4y^2)/(4y^2(1 + x)) =
= x^2 - 4xy + 4y^2 - 2x^2 + 8y^2/(1 + x) =
= -x^2 - 4xy + 4y^2 + 8y^2/(1 + x)

Таким образом, после упрощения получаем выражение, которое может быть представлено в виде:
(-x^2 - 4xy + 4y^2) + 8y^2/(1 + x)

Из данного выражения видно, что первое слагаемое (-x^2 - 4xy + 4y^2) является квадратным трехчленом относительно x и y, который всегда неотрицателен. А второе слагаемое 8y^2/(1 + x) также неотрицательно при всех допустимых значениях x и y.

Следовательно, данное выражение (x-2y)^2 - 8y^2(2y^2 - x^2)/(2y+x)^2 неотрицательно при всех допустимых значениях x и y.