В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки E и F так,что АЕ=СF. Докажите что :а)BDE=BDF б)АDE=CDF

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Докажем, что треугольники BDE и BDF равновеликие.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BD является высотой и биссектрисой треугольника ABC, следовательно, угол BDC равен углу BAC.
Также, так как AE = CF (как отмечено в условии), то угол AEB = углу CFB.

Далее, из равенства углов BCE и CBE следует, что треугольники BEC и CBG подобны (у них соответствующие углы равны).

Таким образом, углы EBC и BCG равны (по определению подобия треугольников). Но угол BCG равен углу BAC (так как BC - биссектриса), поэтому углы EBC и BAC тоже равны.

Теперь рассмотрим треугольники BDE и BDF. У них уже углы при вершине равны (они равны углам EBC и ACB).

Также стороны DE и DF равны медиане BD, поэтому эти треугольники равновеликие. Следовательно, BDE = BDF.

б) Теперь докажем равенство углов ADE и CDF.

Из пункта а) мы уже знаем, что треугольники BDE и BDF равновеликие, значит угол BDE равен углу BDF.

Также угол BDE равен углу CDE (так как треугольник CDE тоже равнобедренный, а BD - медиана).

Из данных равенств следует, что угол CDE равен углу BDF, а значит равен и углу CDF.

Теперь по определению равновеликих треугольников BDE и ADE, угол BDE равен углу ADE.

Следовательно, угол ADE равен углу CDF.