На окружности радиуса R наудачу взяты две точки. Какова вероятность того что эти точки и центр образуют тупоугольный треугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы точки и центр образовывали тупоугольный треугольник, одна из точек должна находиться внутри окружности радиуса R, а другая находиться за пределами этой окружности.

Пусть S1 - площадь круга с радиусом R, а S2 - площадь кольца между окружностью радиуса R и внешней окружностью радиуса 2R (для того чтобы точка была за пределами окружности нужно чтобы её координаты попали в кольцо). Тогда вероятность того, что две случайно взятые точки образуют тупоугольный треугольник равна отношению S2 к общей площади:

P = S2 / (S1 + S2)

S1 = πR^2
S2 = π2R^2 - πR^2 = πR^2

Таким образом,

P = πR^2 / (πR^2 + πR^2) = 0.5

Таким образом, вероятность того, что две случайно взятые точки на окружности радиуса R и центр образуют тупоугольный треугольник равна 0.5.