Доказать, что для любых неотрицательных a,b,c справедливо неравенство a3+b3+c3+15abc≤2×(a+b+c)(a2+b2+c2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Известно неравенство (a+b+c)² ≥ 3(ab+bc+ca), которое получается из разложения квадрата (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab+bc+ca). Теперь умножим это неравенство на 2, чтобы получить 2(a+b+c)² ≥ 6(ab+bc+ca).

Теперь добавим к этой неравенству еще 3(a²+b²+c²), чтобы получить 2(a+b+c)² + 3(a²+b²+c²) ≥ 6(ab+bc+ca) + 3(a²+b²+c²).

После раскрытия скобок получим:
2a² + 2b² + 2c² + 3a² + 3b² + 3c² + 4ab + 4bc + 4ca ≥ 6ab + 6bc + 6ca + 3a² + 3b² + 3c²

9a² + 9b² + 9c² + 4ab + 4bc + 4ca ≥ 6ab + 6bc + 6ca + 3a² + 3b² + 3c²

3a² + 3b² + 3c² + 4ab + 4bc + 4ca ≥ 0

Получаем, что 3(a²+b²+c²)+4(ab+bc+ca) ≥ 0, что и требовалось доказать.

Теперь преобразуем наше неравенство:
a³+b³+c³+15abc ≤ 2(a+b+c)(a²+b²+c²)

Разложим правую часть:
2(a³+b³+c³) + 2(a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b)

Теперь выразим a³, b³, c³ через (a+b+c)(a²+b²+c²):
a³ + b³ + c³ = (a+b+c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc)

Подставим это в наше неравенство:
(a+b+c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) + 15abc ≤ 2(a+b+c)(a² + b² + c²) + 2(ab+bc+ca)

Раскроем скобки и получим:
a³ + b³ + c³ + 15abc ≤ 2(a+b+c)(a²+b²+c²)

Таким образом, мы доказали исходное неравенство.