Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 24. Вычисли, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшем.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, разность прогрессии равна d, тогда второй член будет a + d, третий член будет a + 2d, четвертый член будет a + 3d, пятый член будет a + 4d.

Условие "Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 24" перепишем в виде уравнения:
3(a + d) + (a + 3d) = 24
4a + 6d = 24
2a + 3d = 12
a = 6 - 1.5d

Теперь найдем произведение третьего и пятого членов прогрессии:
(a + 2d)(a + 4d) = a^2 + 6ad + 8d^2

Подставим a = 6 - 1.5d:
(6 - 1.5d)^2 + 6(6 - 1.5d)d + 8d^2 =
= 36 - 18d + 2.25d^2 + 36d - 9d^2 + 8d^2 =
= 2.25d^2 + 25d + 36

Для того чтобы найти минимум этого выражения, найдем его производную и приравняем к нулю:
d(2.25d^2 + 25d + 36)/dd = 0
4.5d + 25 = 0
d = -25/4.5 = -5.56(repeating)

При данном значении разности прогрессии d = -5.56 будет достигаться минимальное значение произведения третьего и пятого членов прогрессии.