Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, третий член которой равен 3, а пятый равен 27

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано, что третий член геометрической прогрессии равен $a{3} = 3$ и пятый член равен $a{5} = 27$.

Так как $a{5} = a{1} \cdot q^{4}$ и $a{3} = a{1} \cdot q^{2}$, где $a_{1}$ - первый член прогрессии, $q$ - знаменатель прогрессии.

Из уравнения $a{5} = a{1} \cdot q^{4}$ получаем:

$27 = a_{1} \cdot q^{4}$ (1)

Из уравнения $a{3} = a{1} \cdot q^{2}$ получаем:

$3 = a_{1} \cdot q^{2}$ (2)

Из (2) находим:

$a_{1} = \frac{3}{q^{2}}$ (3)

Подставим (3) в (1):

$27 = \frac{3}{q^{2}} \cdot q^{4}$

$27 = 3q^{2}$

$q^{2} = 9$

$q = 3$ или $q = -3$

Так как прогрессия возрастающая, то $q = 3$.

Теперь находим первый член прогрессии:

$a_{1} = \frac{3}{3^{2}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Сумма первых пяти членов прогрессии будет равна:

$S{5} = a{1} + a{2} + a{3} + a{4} + a{5}
$S{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 3 + 3 + 3 \cdot 3 + 27
$S{5} = \frac{1}{3} + 1 + 3 + 9 + 27
$S_{5} = 40$

Итак, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 40.