Вычислить 2cos^2 15°-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассчитаем значение ( \cos(15°) ):

( \cos(15°) = \cos(45° - 30°) = \cos(45°)\cos(30°) + \sin(45°)\sin(30°) )

( \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} )

( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} )

( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} )

( \sin(30°) = \frac{1}{2} )

Подставим значения:

( \cos(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} )

Теперь подставим значение ( \cos(15°) ) в уравнение:

( 2\cos^2(15°) - 1 = 2\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2 - 1 )

( 2\left(\frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{16}\right) - 1 )

( \frac{2 \cdot 6 + 4\sqrt{12} + 4}{16} - 1 )

( \frac{12 + 4\sqrt{12} + 4}{16} - 1 )

( \frac{16 + 4\sqrt{12}}{16} - \frac{16}{16} )

( \frac{16 + 4\sqrt{12} - 16}{16} )

( \frac{4\sqrt{12}}{16} )

( \frac{\sqrt{12}}{4} )

( \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}{4} )

( \frac{2\sqrt{3}}{4} )

( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 )

Ответ: ( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 )