Задача по геометрии Треугольник А1В1С1 симметричен треугольнику ABC относительно начала координат. Найди разность: |вектор А1В| в квадрате - |вектор В1С| в квадрате, если A(3;0;−8) , B(4;−2;5) и C1 (−3;−12;3) .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте сначала найдем координаты точки (A_1), используя симметрию относительно начала координат. Если (A(x, y, z)), то её симметричная точка будет (A_1(-x, -y, -z)).

Для точки (A(3; 0; -8)) получаем:
[
A_1(-3; 0; 8).
]

Теперь рассмотрим точки (B(4; -2; 5)) и (C_1 (-3; -12; 3)). Нам нужно найти векторы ( \overrightarrow{A_1B} ) и ( \overrightarrow{B_1C} ).

Вектор ( \overrightarrow{A_1B} ) вычисляется как:
[
\overrightarrow{A_1B} = B - A_1 = (4 - (-3), -2 - 0, 5 - 8) = (4 + 3, -2, 5 - 8) = (7, -2, -3).
]

Найдём квадрат нормы этого вектора:
[
|\overrightarrow{A_1B}|^2 = 7^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = 49 + 4 + 9 = 62.
]

Теперь вычислим вектор ( \overrightarrow{B_1C} ). Сначала найдем (B_1):
[
B_1(-4; 2; -5).
]
Теперь вектор:
[
\overrightarrow{B_1C} = C - B_1 = (-3 - (-4), -12 - 2, 3 - (-5)) = (-3 + 4, -12 - 2, 3 + 5) = (1, -14, 8).
]

Теперь найдем квадрат нормы этого вектора:
[
|\overrightarrow{B_1C}|^2 = 1^2 + (-14)^2 + 8^2 = 1 + 196 + 64 = 261.
]

Итак, мы рассчитали:
[
|\overrightarrow{A_1B}|^2 = 62,
]
[
|\overrightarrow{B_1C}|^2 = 261.
]

Теперь найдём разность:
[
|\overrightarrow{A_1B}|^2 - |\overrightarrow{B_1C}|^2 = 62 - 261 = -199.
]

Ответ: (-199).