Как возвести комплексное число в 24 степень с помощью формулы Муавра?
[tex](1 + \frac{\sqrt{3} }{2} + \frac{i}{2})^{24}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы возвести комплексное число в 24 степень с помощью формулы Муавра, нужно сначала представить данное число в тригонометрической форме.

Представим данное комплексное число z = 1 + (sqrt(3))/2 + i/2 в тригонометрической форме. Рассмотрим треугольник с вершинами в точках (0,0), (1,(sqrt(3))/2) и (1,1), тогда длины его сторон будут равны 1, sqrt(3)/2 и 1/2. Таким образом, углы треугольника будут равны π/6, π/3 и π/4.

Используя связь между комплексными числами и тригонометрической формой, получаем:
z = 1 + (sqrt(3))/2 + i/2 = cos(π/6) + i*sin(π/6)

Теперь применим формулу Муавра:

z^n = (cosx + isinx)^n = cos(nx) + isin(nx)

где x - угол в тригонометрической форме, а n - степень.

В нашем случае получаем:

z^24 = (cos(π/6) + isin(π/6))^24 = cos(24π/6) + isin(24π/6) = cos(4π) + i*sin(4π) = 1 + 0 = 1

Итак, (1 + (sqrt(3))/2 + i/2)^24 = 1.